** Radioactivité

On s'intéresse à l'évolution d'une population de noyaux radioactifs.
Le nombre de noyaux présents à l'instant \(t\)  est donné par \(N(t)=N_0\text{e}^{-\lambda t}\)  où \(N_0\)  est le nombre de noyaux radioactifs à \(t=0\)  et \(\lambda\)  est une constante caractéristique de la population étudiée exprimée en \(\text{s}^{-1}\) .
Le temps \(t\)  est exprimé en secondes.

1. Étudier les variations de la fonction \(N\)  sur \([0\ ;+\infty[\) . Le résultat est-il surprenant ?
2. a. Déterminer la période de demi-vie, notée \(T\) , de cette population de noyaux radioactifs, c'est-à-dire la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux, initialement présents, se soient désintégrés.
    b. Montrer que, pour tout réel \(t\geqslant 0\) , on a  \(N(t+T)=\dfrac{1}{2}N(t)\) .
3. L'Agence nationale pour la gestion des d échets ra dioactifs (Andra) précise sur son site que
« A u bout de 10 périodes radioactives, seul 1 atome radioactif sur 1 000 subsiste ».
Justifier cette affirmation.